Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 11 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 11 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh 2018-2019 (Có đáp án)

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019 Mụn thi: Toỏn – Lớp 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề thi cú 01 trang) Cõu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số = ( ― 1) ― 2 ― 3 cú đồ thị là đường thẳng . Tỡm để đường thẳng cắt trục , tại hai điểm và sao cho tam giỏc cõn. Cõu 2. (4,5 điểm) ổ ử 2 x 2 ỗ 3pữ 4sin - 3 cos2x - 1- 2cos ỗx - ữ 2 ốỗ 4 ứữ 1) Giải phương trỡnh = 0. 2cos3x + 1 3 + 2 + = 2 3 + 2) Giải hệ phương trỡnh . 3 + 3 + 5 2 2 + 5 = 3 3 + 5 2 + 2 + 5 Cõu 3. (4,0 điểm) ùỡ 3x + 1 - x + 3 ù khi x > 1 ù 2 1) Tỡm để hàm số f (x) = ớù x - 1 liờn tục tại điểm = 1. ù (a + 2)x ù khi x Ê 1 ợù 4 2 2) Cho dóy số xỏc định bởi = 2019; = 2020; = 푛 푛―1,푛 ≥ 2,푛 ∈ ℕ. Tớnh limu . ( 푛) 1 2 푛+1 3 n Cõu 4. (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hỡnh vuụng cú tõm . Trung điểm cạnh là (0;3), trung điểm đoạn là 퐽(1;0). Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng, biết đỉnh thuộc đường thẳng 훥: ― + 1 = 0. Cõu 5. (4,0 điểm) 1) Cho hỡnh chúp 푆. , cú đỏy là hỡnh chữ nhật với AB = a 3, BC = a và 푆 = 푆 = 푆 = 푆 = 2 . Gọi 퐾 là hỡnh chiếu vuụng gúc của trờn và là hỡnh chiếu vuụng gúc của 퐾 trờn SA. a) Tớnh độ dài đoạn 퐾 theo . b) Gọi là giao điểm của hai đường thẳng 퐾,푆 . Mặt phẳng (훼) di động, luụn đi qua và cắt cỏc đoạn thẳng 푆 ,푆 ,푆 ,푆 lần lượt tại ′, ′, ′, ′. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 푃 = 푆 ′.푆 ′.푆 ′.푆 ′. 2) Cho tứ diện đều cú đường cao . Mặt phẳng (푃) chứa cắt ba cạnh , , lần lượt tại , ,푃; gọi 훼;훽;훾 là gúc hợp bởi ; ; 푃 với mặt phẳng( ). Chứng minh rằng tan2 a + tan2 b + tan2 g = 12. Cõu 6. (3,0 điểm) 1) Cho tam thức ( ) = 2 + + . Chứng minh rằng nếu phương trỡnh ( ) = cú hai nghiệm phõn biệt và 2 ― 2 ― 3 > 4 thỡ phương trỡnh [ ( )] = cú bốn nghiệm phõn biệt. 2) Cho , , là cỏc số thực dương thay đổi thỏa món ( + ― )2 = . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 2 2 thức 푃 = + + . 2 2 3) Lớp 11 Toỏn cú 34 học sinh tham gia kiểm tra mụn Toỏn để chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm 5 bài toỏn. Biết rằng mỗi bài toỏn thỡ cú ớt nhất 19 học sinh giải quyết được. Chứng minh rằng cú 2 học sinh sao cho mỗi bài toỏn đều được một trong hai học sinh này giải quyết được. Hết Họ và tờn thớ sinh : Số bỏo danh