Giáo án Toán 11 (Kết nối tri thức) - Chuyên đề: Hai mặt phẳng song song - Bùi Thị Thùy

Nội dung tài liệu: Giáo án Toán 11 (Kết nối tri thức) - Chuyên đề: Hai mặt phẳng song song - Bùi Thị Thùy

1. Giáo viên: Bùi Thị Thùy Chuyên đề: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I.MỤC TIÊU - Hiểu được hai mặt phẳng song song trong không gian - Nắm được điều kiện để hai mặt phẳng song song, tính chất của hai mặt phẳng song song. - Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, chứng mimh đường thẳng song song với mặt phẳng, tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng. II.NỘI DUNG A. LÝ THUYẾT 1. ĐINH NGHĨA Định nghĩa: Hai mặt phẳng (훼) và (훽) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung; ( ) // () ( )() =   Chú ý: ( ) // (), d  ( ) d // () 2. TÍNH CHẤT  Định lý ➊: Nếu mặt phẳng (훼) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b M a b và a, b cùng song song với mặt phẳng (훽) thì (훼) song α song với (훽). β . Định lý ➋: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. A α β . Định lý 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. Trang 1/17
2. // () ( ) a a //b ( )  b B.TIẾN TRÌNH BÀI DẠY 1.HOẠT ĐỘNG 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1 Mệnh đề nào sau đây sai? A. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. B. Hai mặt phẳng P và Q được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. C. Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng a,b và a,b cùng song song với mặt phẳng Q thì P song song với Q . D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Lời giải Chọn C Trang 2/17
3. Nếu a,b  P mà a,b cùng song song với Q và a song song b thì không suy ra được P song song với Q . Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? // () - Nếu ( ) a a //b . I ( )  b - Nếu a  mp P , b  mp Q và mp P // mp Q thì a //b . II // () - Nếu A ( ) ( ) Ax //b . III ( )  b A. Chỉ I .B. I và III . C. I và II .D. Cả I , II và III . Lời giải Chọn B 2.HOẠT ĐỘNG 2: BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. DẠNG 1: Chứng minh 2 mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng: Phương pháp Cách 1: Sử dụng định nghĩa hai mặt phẳng song song: Chứng minh hai mặt phẳng không có điểm chung. Cách 2: Sử dụng hệ quả của định lí 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau. Cách 3: Sử dụng định lí 1 • Bước 1: Tìm hai đường thẳng , cắt nhau trong mặt phẳng (훼). • Bước 2: Lần lượt chứng minh ∥ (훽) và ∥ (훽) • Bước 3: Kết luận (훼) ∥ (훽). Trang 3/17
4. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC. a) Chứng minh MNP // ABCD . b) Gọi Q là giao điểm của MNP và SD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Hướng dẫn giải a) Ta có MN // AB, AB  ABCD MN // ABCD . Tương tự NP // BC, BC  ABCD NP // ABCD . MN // ABCD Ta có NP // ABCD MNP // ABCD . MN, NP  MNP , MN  NP N b) Ta có SD  SCD . Xét hai mặt phẳng MNP và SCD có P MNP  SCD CD  SCD , MN  MNP Ta có MNP  SCD Px MN // CD sao cho Px // CD // MN. (vì MN // AB theo tính chất đường trung bình và CD // AB ) Trong SCD gọi Px CD Q. Suy ra ( 푃) ∩ 푆 = {푄}. Ta có MNP  SCD PQ nên PQ // CD // MN suy ra Q là trung điểm của SD và 1 1 MN AB CD PQ. 2 2 Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau). Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD ; O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . a)Chứng minh (OMN)P(SBC). b)Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, ON, SB . Chứng minh PQ P(SBC) và (MOR)P(SCD). Trang 4/17
5. Lời giải a) Vì O = AC ÇBD nên O là trung điểm AC và BD . Trong tam giác SAC , ta có O, M lần lượt là trung S điểm của AC , SA nên OM PSC . Trong tam giác SAC , ta có O, N lần lượt là trung điểm của BD , SD nên ON PSB . ïì OM Ì OMN ,ON Ì OMN M R ï ( ) ( ) ï Do íï OM PSC,ON PSB suy ra(OMN)P(SBC). N ï ï Ì Ì îï SC (SBC),SB (SBC) ì ï OP PAD Q P B b) ● Ta có í suy ra OP PMN nên bốn điểm ï AD PMN A îï O M, N, P, O đồng phẳng. Do đó PQÌ (OMN). D C ì ï PQ Ì (OMN) Mà í suy ra PQ P(SBC). ï P îï (OMN) (SBC) ● Xét tam giác SAC , ta có OM PSC mà SC Ì (SCD) suy ra OM P(SCD). (1) Xét tam giác SBD , ta có OR PSD mà SD Ì (SCD) suy ra OR P(SCD). (2) Từ (1) và (2), suy ra (MOR)P(SCD). 2.DẠNG 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng Phương pháp • Vì (훼) song song với mặt phẳng, suy ra (훼) song song với mọi đường thuộc mặt phẳng đã biết. • Sau đó tìm giao tuyến của (훼) với các mặt của khối chóp. Dựa vào tính chất: ∈ (훼) ∩ (푃) (훼) ∥ ⇒(훼) ∩ (푃) = ∥ . ⊂ (푃) Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD , mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng SAD . Trang 5/17
6. a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng (푆 ) b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng (SAC) c. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng .Thiết diện là hình gì? Lời giải: a ∥ SAD S a.Ta có M SAB  . SAB  SAD SA ⇒(푆 ) ∩ (훼) = 퐾 ∥ 푆 , 퐾 ∈ 푆 . K ∥ SAD H b.Tương tự N SCD  . A B SCD  SAD SD M SCD  NH ∥SD, H SC . c.Dễ thấy HK  SBC . D N C Thiết diện là tứ giác MNHK Ba mặt phẳng ABCD , SBC và đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN, HK, BC , mà MN ∥ BC MN ∥ HK . Vậy thiết diện là một hình thang. 3.HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG Tự luận: Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,SA . a) Chứng minh SBN P DPM . b) Q là một điểm thuộc đoạn SP (Q khác S,P ). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi đi qua Q và song song với SBN . c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi  đi qua MN song song với SAD . Lời giải: Trang 6/17
7. BN PDM a) Ta có BN P DPM 1 Tương DM  DPM BS PMP tự BS P DPM 2 MP  DPM Từ 1 và 2 suy ra SBN P DPM . SB  SBN b) Ta có SB P . S P SBN vậy Q SAB  Q SB  SAB SAB  QR PSB,R AB P L SB P . Tương tự A D  ABCD RK PBN,K CD M K  P . SCD KL SB, L SD N Vậy thiết diện là tứ giác QRKL . R B C M   SAB S SA P  c) Ta có SA  SAB   SAB MF PSA,F SB Tương tự   SCD NE / /SD,E SC . F E Thiết diện là hình thang MNEF . A D M N B C Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, B·AC = 30°. Mặt phẳng (P) song song với (ABC ) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Tính diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC ? Lời giải. Trang 7/17
8. S M N A C P B 1 1 Diện tích tam giác ABC là S = .AB.AC.sin B·AC = .4.4.sin 300 = 4. DABC 2 2 Gọi N , P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC. SM SN SP 2 Vì (P)//(ABC ) nên theoo định lí Talet, ta có = = = . SA SB SC 3 Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC 2 æ ö2 2 ç2÷ 16 theo tỉ số k = . Vậy SDMNP = k .SDABC = ç ÷ .4 = . 3 èç3ø÷ 9 Bài 3. Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC a, BD b . Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng di động song song với mặt phẳng SBD và đi qua điểm I trên đoạn AC và AI x 0 x a . a.thiết diện của hình chóp cắt bởi là hình gi? b.Tính diện tích thiết diện theo a,b và x . Lời giải: a) Trường hợp 1. Xét I thuộc đoạn OA I  ABD Ta có P SBD S ABD  SBD BD  ABD MN PBD,I MN . P K N  SAD A Tương tự P SBD M B I SAD  SBD SD N H O I  P . SAD NP SD,P SN D L C Thiết diện là tam giác MNP . Trang 8/17
9. P SBD Do SAB  SBD SB MP PSB . Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương ứng song SAB  MP song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều. Trường hợp 2. Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều HKL như hv . b) Trường hợp 1. I thuộc đoạn OA 2 2 2 BD 3 b 3 SMNP MN Ta có SBCD , A 4 4 SBCD BD MN AI 2x P Do MN PBD BD AO a M 2 2x b2 x2 3 SMNP SBCD . B C a a2 Trường hợp 2. I thuộc đoạn OC , tính tương tự ta có Q N 2 2 2 a x 2 b2 a x 3 HL 2 b 3 D SMNP SBCD [ ] BD a 4 a2 . b2 x2 3 ; I (OA) a2 Vậy Std 2 . b2 a x 3 2 ; I OC a Trắc nghiệm Câu 1: [Mức độ 2] Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Kết quả nào sau đây là đúng. A. AD// BEF . B. AFD // BEC C. ABD // EFC . D. EC// ABF . Lời giải Chọn B Trang 9/17
10. D C A B F E AD//CB AD// CBE Ta có AF //BE AF // CBE ADF // BCE . Trong ADF , AD  AF A Câu 2: [Mức độ 2] Cho hình hộp ABCD.A B C D . Mặt phẳng AB D song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? A. BCA . B. BC D . C. A C C . D. BDA . Lời giải Chọn B B' C' A' D' B C A D Ta có: - ADC B là hình bình hành nên AB //DC AB //(DBC ) - ABC D là hình bình hành nên AD //BC AD //(DBC ) Trong AB D , AB  AD A Suy ra ta có: AB D // DBC . Câu 3: [Mức độ 3] Cho tứ diện đều SABC . Gọi I là trung điểm AB, M là một điểm di động trên đoạn AI . Gọi P là mặt phẳng qua M và song song với SIC . Thiết diện tạo bởi P và tứ diện SABC là? A. Hình thoi. B. Hình bình hành. C. Tam giác cân tại M . D. Tam giác đều. Lời giải Trang 10/17
11. Chọn C Trong ABC , từ M kẻ MN / /IC Trong SAC , từ N kẻ NJ / /SC Trong SAB , từ M kẻ MK / /SB Vậy thiết diện là tam giác MNK . Vì SAB  SAC SA nên J  K MN AM MK AM Trong tam giác ABC có , tương tự tam giác SAB có IC MI SI MI Mà SI IC cùng đường cao trong 2 tam giác đều nên MK MN , suy ra tam giác MNK cân tại M . 4.BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 1: [Mức độ 1] Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Nếu hai mặt phẳng P và Q song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong P đều song song với Q . B. Nếu hai mặt phẳng P và Q song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong P đều song song với mọi đường thẳng nằm trong Q . C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt P và Q thì P và Q song song với nhau. D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó. Lời giải Chọn A Trang 11/17
12. Hai mặt phẳng P và Q song song với nhau thì không có điểm chung, do đó mỗi đường thẳng thuộc mặt phẳng này đều song song với phẳng phẳng kia. Câu 2: [Mức độ 2] Cho tứ diện ABCD . Gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD, ABD. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Mặt phẳng G1G2G3 song song với mặt phẳng BCD . B. Mặt phẳng G1G2G3 cắt mặt phẳng BCD . C. Mặt phẳng G1G2G3 song song với mặt phẳng BCA . D. Mặt phẳng G1G2G3 không có điểm chung với mặt phẳng ACD . Lời giải Chọn A Gọi M1, M 2 , M 3 lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD . G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD, ABD 2 2 2 nên AG AM , AG AM , AG AM 1 3 1 2 3 2 3 3 3 Do đó G1G2 // M1M2 ; G2G3 // M 2M 3 Vậy mặt phẳng G1G2G3 có hai đường thẳng cắt nhau, tương ứng song song với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng BCD nên G1G2G3 song song với mặt phẳng BCD . Câu 3: [Mức độ 3] Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AA , A C , BC . Khi đó: A. MNP // BCA . B. MNQ // A B C . C. NQP // CAB . D. MNP // ACC . Lời giải Chọn B A' P B' C' N A M B Q C Ta có: QM // AB // A B ( vì QM là đường trung bình trong tam giác ABC ) QM // A B C (1) Trang 12/17
13. Mặt khác MN // A C ( vì MN là đường trung bình của tam giác ACA ) MN // A B C (2) Từ (2) và (2) MNQ // A B C . Câu 4: [Mức độ 3] Cho hình chóp SABCD với đáy là hình thang ABCD, AD / /BC, AD 2BC . Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE , I là một điểm thuộc AC ( I khác A và C ). Qua I , ta vẽ mặt phẳng song song với SBE . Thiết diện tạo bởi và hình chóp SABCD là: A. Một hình thang. B. Một hình tam giác. C. Hoặc là một hình tam giác hoặc là một hình thang. D. Hình tam giác và hình thangb 0, c 0 . Lời giải Chọn C . Câu 5: [Mức độ 3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB . Qua M vẽ mặt phẳng song song với SBC . Gọi N, P,Q lần lượt là giao của mặt phẳng với các đường thẳng CD, DS, SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ và NP là: A. Đường thẳng. B. Nửa đường thẳng. C. Đoạn thẳng song song với AB . D. Tập hợp rỗng. Lời giải Chọn D Trang 13/17
14. SAB  SDC Sx / / AB I MQ  NP I Sx / / AB Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C ). Thiết diện của (P) và hình chóp là hình gì? A. Hình bình hành.B. Tam giác cân.C. Tam giác vuông.D. Tam giác đều. Lời giải. Chọn D. S P C B O I M D N A Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy (ABCD). Vì (P)//(SBD), (P)Ç(ABCD)= MN và (SBD)Ç(ABCD)= MN suy ra MN // BD. Lập luận tương tự, ta có (P) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP //SD. (P) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP //SB. Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều MNP. Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB = 6, CD = 4. Mặt phẳng (P) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM . Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? 5 3 2 3 7 3 A. B. . . C. 2 D. . . 9 3 9 Lời giải. Trang 14/17
15. Chọn A. S O P M N D C D C A B A H K B Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB. ïì AH = BK; CD = HK ABCD là hình thang cân Þ íï Þ BK = 1. îï AH + HK + BK = AB Tam giác BCK vuông tại K, có CK = BC 2 - BK 2 = 22 - 12 = 3. AB + CD 4 + 6 Suy ra diện tích hình thang ABCD là S = CK. = 3. = 5 3. ABCD 2 2 Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của (P) và các cạnh SB, SC, SD. MN NP PQ QM 1 Vì (P)//(ABCD) nên theo định lí Talet, ta có = = = = . AB BC CD AD 3 5 3 Khi đó (P) cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích S = k 2 .S = . MNPQ ABCD 9 Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8 , SA = SB = 6. Gọi (P) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB). Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là: A. 5 5. .B. 6 5. .C. 12. .D. 13. . Lời giải. Chọn B. S N M A B P Q C D Qua O kẻ đường thẳng (d) song song AB và cắt BC, AD lần lượt tại P, Q. Kẻ PN song song với SB (N Î SB), kẻ QM song song với SA (M Î SA). Khi đó (MNPQ)//(SAB) Þ thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tứ giác MNPQ Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là trung điểm của SC, SD. CD AB Do đó MN là đường trung bình tam giác SCD Þ MN = = = 4. 2 2 SB SA Và NP = = 3; QM = = 3 Þ NP = QM Þ MNPQ là hình thang cân. 2 2 Trang 15/17
16. 1 Hạ NH, MK vuông góc với PQ. Ta có PH = KQ Þ PH = (PQ - MN )= 2. 2 Tam giác PHN vuông, có NH = 5. PQ + NM Vậy diện tích hình thang MNPQ là S = NH. = 6 5. MNPQ 2 Câu 9: Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 3 cạnh B. 4 cạnh C. 5 cạnh D. 6 cạnh. Lời giải. Chọn C. Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác. Câu 10: Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh ? A. 4 cạnh. .B. 5 cạnh C. 6 cạnh D. 7 cạnh Lời giải. Chọn C. Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh. Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A¢B ¢C ¢D ¢. Gọi I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (IB¢D¢) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác B. Hình thang C. Hình bình hành.D. Hình chữ nhật Lời giải. Chọn B. B' C' I A' M D' B C A D ì ï B¢D¢Ì (IB¢D¢) ï Ta có íï BD Ì (ABCD) ¾ ¾® Ggiao tuyến của (IB¢D¢) với (ABCD) là đường thẳng d đi qua I và song song ï ï B¢D¢ BD îï P với BD . Trong mặt phẳng (ABCD), gọi M = d Ç AD ¾ ¾® IM P BD P B ¢D ¢. Khi đó thiết diện là tứ giác IMB¢D¢ và tứ giác này là hình thang. Chọn B. Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A¢B ¢C ¢D ¢. Gọi (a) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình hộp theo thiết diện là một tứ giác (T ). Khẳng định nào sau đây không sai? A. (T ) là hình chữ nhật B. (T ) là hình bình hành Trang 16/17
17. C. (T ) là hình thoi.D. (T ) là hình vuông Lời giải. Chọn B. B C A D B' C' A' D' d Giả sử mặt phẳng (a) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ giác (T ). Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (a) và mặt phẳng (A¢B¢C ¢D¢). Ta chứng minh được AB // d suy ra tứ giác (T ) là một hình bình hành. Ngày 25 Tháng 9 Năm 2023 Xác nhận của tổ chuyên môn Nguyền Thị Lan Trang 17/17