Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần khoảng cách trong chương trình hình học không gian lớp 11

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần khoảng cách trong chương trình hình học không gian lớp 11

1. MỤC LỤC TÊN ĐỀ MỤC TRANG MỤC LỤC 1 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 2 Phần 1. MỞ ĐẦU 3 1. Mục đích của sáng kiến 3 2. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến 3 3. Những đóng góp của sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy và học 4 của ngành giáo dục nói chung, của đơn vị nói riêng Phần 2. NỘI DUNG 5 Chương 1. KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG GIẢI CÁC BÀI TẬP TRẮC 5 NGHIỆM PHẦN KHOẢNG CÁCH CỦA HỌC SINH THPT 1. Cơ sở lý luận của sáng kiến 5 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 5 Chương 2. CÁC GIẢI PHÁP SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 7 1. Phương pháp giúp học sinh hệ thống các kiến thức của bài toán 7 khoảng cách trong hình học không gian qua hệ thống sơ đồ tư duy 2. Phương pháp giúp học sinh hệ thống các dạng bài toán về khoảng 9 cách trong hình học không gian 11 3. Phương pháp giúp học sinh ứng dụng các dạng toán và sử dụng sơ 14 đồ tư duy để giải nhanh các bài toán về khoảng cách Chương 3. KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ TRIỂN KHAI 26 CỦA SÁNG KIẾN 1
2. Phần 3. KẾT LUẬN 28 1. Những vấn đề quan trọng của sáng kiến 28 2. Ý nghĩa, tác dụng của sáng kiến 28 3. Kiến nghị 29 Phần 4. PHỤ LỤC 31 Tài liệu tham khảo 31 Đề kiểm tra 31 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THPT: Trung học phổ thông 2
3. Phần 1. MỞ ĐẦU: 1. Mục đích của sáng kiến: Sự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm đã và đang được chứng minh từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới, bởi những ưu điểm như: tính khách quan, tính bao quát và tính kinh tế . Khi thi trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trả lời trong vòng 1,8 phút nhanh hơn gấp 10 lần so với yêu cầu kiểm tra đánh giá cũ. Trong chương trình toán THPT, "Hình học không gian" được giới thiệu trong SGK lớp 9 và được giải quyết hoàn thiện trong chương trình SGK hình học lớp 11. Môn học này là một trong những môn học khó nhất đối với học sinh THPT bởi tính trừu tượng của nó. Các bài toán về khoảng cách trong hình học lớp 11 là một trong những bài toán định lượng quan trọng nhất của bộ môn hình học không gian và hay được sử dụng trong thi THPT quốc gia. Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản về khoảng cách, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài " Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần khoảng cách trong chương trình hình học không gian lớp 11" 2. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến: - Trong sáng kiến kinh nghiệm này tác giả sẽ giới thiệu cách sử dụng sơ đồ tư duy trong bài toán định lượng tính khoảng cách. Lược bỏ hết các phần chứng minh rườm rà (vì phần chứng minh hầu như không thay đổi đối với một lớp bài toán cố định, và đã được tác giả hướng dẫn học sinh chứng minh trong bài toán tổng quát.) Như vậy, học sinh chỉ cần nhận dạng bài toán, lựa chọn phương án thích hợp và áp dụng luôn công thức tính cuối cùng của dạng toán đó. Đây là bí quyết để học sinh rút ngắn thời gian làm bài. 3
4. - Phân loại rõ các bài toán khoảng cách và có hướng giải cụ thể, ngắn gọn, logic dễ học và dễ nhớ. Bước đầu hướng dẫn học sinh cách làm toán trắc nghiệm. 3. Những đóng góp của sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy và học của ngành giáo dục nói chung, của đơn vị nói riêng Sáng kiến được áp dụng lần đầu tại lớp 11 học sinh trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh năm học 2022-2023. Với những giải pháp sáng kiến đề ra đã phần nào giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc học, làm bài thi và vận dụng vào giải quyết các bài tập trắc nghiệm về khoảng cách. Sáng kiến góp phần nâng cao chất lượng dạy và học nói chung, dạy và học môn toán nói riêng ở trường THPT. Cụ thể: - Về phía giáo viên: đây là một tài liệu mà giáo viên có thể tham khảo thêm trong quá trình dạy học và ôn thi môn Toán nói chung, đặc biệt là dạy và ôn phần Hình học không gian. - Về phía học sinh: được hệ thống các dạng bài tập về “bài toán khoảng cách” trong chương trình Toán THPT, được rèn luyện cách giải quyết các dạng toán này một cách nhanh và chính xác. - Về phía đơn vị, ngành: sáng kiến đã đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán trắc nghiệm nói chung, giải bài tập trắc nghiệm phần khoảng cách nói riêng, đáp ứng yêu cầu giáo dục phổ thông mới. 4
5. Phần 2. NỘI DUNG Chương 1: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG GIẢI CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN KHOẢNG CÁCH CỦA HỌC SINH THPT 1. Cơ sở lý luận của sáng kiến: • Căn cứ vào nội dung chương trình của SGK môn hình học lớp 11 (chương 3) • Căn cứ vào hệ thống bài tập ôn tập chương 3 hình học 11 trong SGK và các đề trắc nghiệm trên mạng Internet. • Căn cứ vào phân loại các dạng bài tập trong sách tham khảo: Giải toán hình học 11 (Tác giả: Trần Thành Minh (chủ biên) - Nhà xuất bản giáo dục tháng 8 năm 2004), Tuy nhiên, trong các tài liệu tham khảo trên đa phần đều nặng về lí thuyết, chưa phân dạng các bài toán khoảng cách cụ thể và chi tiết, chưa đưa ra được kết cấu một bài làm dưới dạng sơ đồ tư duy. Dựa vào các tài liệu trên, tôi đã hướng dẫn học sinh phân loại được các dạng toán cụ thể và xây dựng được một hệ thống tư duy cho lớp các bài tập khoảng cách. Vì vậy, chỉ cần đọc đề bài là học sinh đã có thể phân loại và nhận dạng bài tập cần làm (theo sơ đồ tư duy định sẵn có ở trong đầu đã được học và không sa vào chứng minh rườm rà). Khi đó học sinh chỉ cần áp dụng kết quả cuối cùng và xử lí theo số liệu cụ thể của đề bài. Đây chính là bí quyết để học sinh rút ngắn thời gian làm bài. 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến: Sau khi học xong khái niệm, tôi đã cho học sinh thực hành làm bài trắc nghiệm 50 câu với phân loại 50 câu đủ ba phần: Câu hỏi nhận dạng, câu hỏi vận dụng và câu hỏi vận dụng cao. Thực hiện kiểm chứng trên lớp với 45 học sinh 11A13 năm học 2022 – 2023 thu được kết quả sau: 5
6. Nhận biết(nắm vững lý Thông hiểu(có thể vận Vận dụng linh hoạt thuyết) dụng lý thuyết để giải (giải được đa số các bài toán) tập đưa ra) Số Phần trăm Số Phần trăm Số Phần trăm học sinh học sinh học sinh 45 100% 20 44,4% 7 15,6% Tuy nhiên về thời gian thu được kết quả sau: Từ 2 phút/ 1 câu Từ 5 phút/ 1 câu 1,8 phút / 1 câu Trên 10phút/1 câu đến 5 phút/ 1câu đến 10phút/1câu Số Số Phần Số Phần Số Phần Phần học học trăm học sinh trăm học sinh trăm trăm sinh sinh 2 4,4% 5 11,1% 13 28,9% 25 55,6% Như vậy qua khảo sát trên ta thấy đa số học sinh chưa đảm bảo với yêu cầu kiểm tra đánh giá mới. Để giải quyết vấn đề, trong đề tài này tôi đề xuất các ý tưởng nghiên cứu sau: • Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm của bài toán khoảng cách dưới dạng sơ đồ tư duy để từ đó khắc sâu được kiến thức. • Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh nghiệm giải toán. Qua đó tự tìm ra thuật giải cho bài toán khoảng cách. • Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực tiễn cuộc sống. 6
7. Chương 2. CÁC GIẢI PHÁP SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Phương pháp giúp học sinh hệ thống các kiến thức của bài toán khoảng cách trong hình học không gian qua hệ thống sơ đồ tư duy. Trong bài toán tính khoảng cách thì bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là mấu chốt cơ bản nhất. Các bài toán tính khoảng cách khác đều đưa được về bài toán cơ bản này. • Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết: Khoảng cách từ một điểm Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng đến một mặt phẳng M Q M H H a P d(M,a) = MH Dựng mặt phẳng (Q) chứa M và H là hình chiếu vuông góc của M trên vuông góc với (P). a (Q)  (P) = a Dựng MH  a (H a) d(M,(P)) = d(M,a) = MH 7
8. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách giữa đường Khoảng cách giữa hai Khoảng cách giữa hai thẳng và mặt phẳng song mặt phẳng song song đường thẳng chéo nhau song a M M a M P H H P a’ H Q b d(a,(P)) = d(M,(P)) = MH d((P),(Q)) = d(M,(Q)) = MH Cho a, b chéo nhau. M bất kì trên a M bất kì trên (P) d(a,b) = d(M,(P)) = MH M bất kì trên a (P) là mặt phẳng chứa b và song song với a. • Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khi tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta nên gắn khoảng cách đó vào một tam giác, thường là tam giác vuông và sử dụng các tính chất sau: Cho ∆ABC vuông tại A. AB BC.sin ·ACB AB BC.cos·ABC AB AC.tan ·ACB AB AC.cot ·ABC 1 1 1 AH 2 AB2 AC 2 8
9. 2. Phương pháp giúp học sinh hệ thống các dạng bài toán về khoảng cách trong hình học không gian 11: Khi giải một bài toán hình học không gian, học sinh cần thực hiện qua các bước cần thiết sau: đọc kĩ đề bài, phân tích giả thiết của bài toán, vẽ hình đúng, đặc biệt cần xác định thêm các yêu cầu khác: điểm phụ, đường phụ (nếu cần) để phục vụ cho quá trình giải toán. Trong hệ thống bài tập cũng như trong thực tiễn cuộc sống ta có thể chia "bài toán về khoảng cách" thành các bài toán nhỏ sau: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Khi chuyển sang hình thức "thi trắc nghiệm" thì bài tập khó nhất của đề có thể nói là các bài tập về hình không gian bởi thời gian để thực hiện làm bài đã bị hạn chế hơn chỉ bằng 1/10 so với thời gian cũ, trong lúc đó việc dùng máy tính để bổ trợ hoặc các thủ thuật loại trừ các đáp án nhiễu hầu như không đáng kể. Thực chất, học sinh vẫn phải thực hiện việc giải gần giống một bài tự luận. Vậy để đáp ứng được hình thức kiểm tra đánh giá mới thì vấn đề đặt ra là giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh nắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài toán mấu chốt để các bài toán nhỏ khác có thể đưa về nó. Và việc sử dụng sơ đồ tư duy tỏ ra có hiệu quả khi đảm bảo một lời giải ngắn gọn nhất, logic nhất và nhanh nhất. Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Gồm 2 phương pháp chính: Tính trực tiếp và tính gián tiếp. Phương pháp 1: Tính trực tiếp Trực tiếp 1:( Có sẵn đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)) d (A; (P)) = AH AH  (P) Với H (P) 9
10. Trực tiếp 2: (Có sẵn mặt phẳng (Q) chứa điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) ) Bước 1: Tìm mặt phẳng (Q) chứa điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tìm giao tuyến của (P) và (Q) (P)  (Q) d Bước 3: Trong (Q): Qua A dựng AH  d(H d) . Vậy d(A;(P)) AH Trực tiếp 3: (Chưa có mặt phẳng (Q) cần phải dựng) Bước 1: Tìm hai đường thẳng ∆ đi qua A và d nằm trong (P) sao cho ∆  d Bước 2: Xác định giao điểm của ∆ và (P) Giả sử B = ∆  (P) Bước 3: Trong (P): dựng BK  d (K d) Như vậy mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với (P) chính là mặt phẳng (ABK) Bước 4: Trong (ABK) dựng AH  BK (H BK) => d(A;(P)) = AH Phương pháp 2: Tính gián tiếp Gián tiếp 1: (Gián tiếp song song) 10
11. Nếu AB // (P) => d(A;(P)) = d(B;(P)) Tính khoảng cách từ A đến (P) thông qua khoảng cách từ B đến (P). Trong đó d(B;(P)) dễ tính hơn hoặc biết trước. Gián tiếp 2: (Gián tiếp cắt) Cùng phía: d(A;(P)) AH AC d(B;(P)) BK BC trong đó: AH  (P) (H (P)) BK  (P) (K (P)) AB  (P) = C Khác phía: d(A;(P)) AH AC d(B;(P)) BK BC Trong đó: AH  (P) (H (P)) BK  (P) (K (P)) AB  (P) = C Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Cho a // (P) d(a;(P)) = d(A;(P)) = AH Với AH  (P), H (P) 11
12. Như vậy bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song đã đưa về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Cho (P) // (Q) d((P);(Q)) = d(A;(Q)) Với A (P) Như vậy bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đã đưa về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Bài toán 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Có hai phương pháp chính để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là: Phương pháp 1: Tính trực tiếp (Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung) Chú ý: Phương pháp này chỉ nên dùng khi a và b có mối liên hệ đặc biệt là vuông góc với nhau. Khi đó ta tiến hành các bước thực hiện như sau: Nếu đề bài có sẵn MN thỏa mãn: MN  a MN  b  d(a;b) MN M a N b  12
13. Nếu đề bài chưa có sẵn thì thực hiện: Bước 1: Tìm mặt phẳng (P) chứa b và (P)  a Bước 2: Tìm A a  (P) Bước 3: Trong (P): Dựng AH  b (H b) Vậy d(a;b) = AB Phương án 2: Tìm gián tiếp (đưa về quan hệ song song) Gián tiếp 1: Đưa về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Bước 1: Tìm mặt phẳng (P) chứa a và (P) // b Bước 2: d (a;b) = d(b;(P)) = d(A;(P)) với A b Gợi ý cách tìm (P): Trên a chọn một điểm B Qua B dựng b' // b như vậy (P) = (a;b') Gián tiếp 2: Đưa về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P)  a Bước 1: Tìm hai mặt phẳng (P) và (Q) thỏa mãn (Q)  b (P) / /(Q) Bước 2: d(a;b) = d((P);(Q)) = d(A;(Q)) với A (P) Gợi ý cách tìm (P) và (Q) (P) = (a;b') với b'// b và b’ cắt a (Q) = (b;a') với a’//a và a’ cắt b 13
14. 3. Phương pháp giúp học sinh ứng dụng các dạng toán và sử dụng sơ đồ tư duy để giải nhanh các bài toán về khoảng cách: Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng • Sơ đồ tư duy định hình hướng làm khi tiếp cận bài toán này: Chọn phương án Trực tiếp Gián tiếp Trực tiếp 1: Có sẵn Gián tiếp 1: song song đường vuông góc Trực tiếp 2: Có sẵn Gián tiếp 2: cắt mặt vuông góc Trực tiếp 3: Dựng Bước đầu sử dụng sơ đồ tư duy trên học sinh sẽ định hình nhanh được cách giải, áp dụng luôn công thức để tính ra đáp án mà không cần mất thời gian cho việc chứng minh quan hệ vuông góc vì phần chứng minh đã nằm trong bài toán tổng quát. Ta sẽ thấy rõ được lợi ích qua các ví dụ sau với lời giải ngắn gọn, logic và kết quả chính xác. Đấy là cách rút ngắn thời gian cho việc làm bài, đảm bảo về thời gian của bài trắc nghiệm. • Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) tính theo a bằng: a a 2 A. B. a 2 C. D. a 2 2 14
15. Chọn phương án: Trực tiếp 1 BO  (SAC) (O = AC  BD) d(B;(SAC)) = BO = a 2 Học sinh gắn BO vào ∆ ABC2 để tính. Vậy đáp án cần chọn là C. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). ∆ ABC là tam giác vuông tại B. AB = a, AC = 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) tính theo a bằng: a 3 a a A. B. C. a 3 D. 2 2 3 Chọn phương án: Trực tiếp 2 (ABC)  (SAC) d(B;(SAC)) = BH = a 3 2 (BH  AC; H AC) Học sinh gắn BH vào ∆ ABC để tính. Vậy đáp án cần chọn là A. 15
16. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) với SA = a. M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) tính theo a bằng: 4a a 33 4a 33 A. B. C. 4a 33 D. 33 33 33 Chọn phương án: Trực tiếp 3 SA  BM (BM  (SBM) Dựng SE  BM (E BM) Dựng AF  SE (F SE) d(A;(SBM)) = AF = 4a 33 33 Học sinh: gắn AE vào Y ABCD để tính gắn AF vào ∆ SAE để tính Vậy đáp án cần chọn là D Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy và ∆ SAB đều. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) tính theo a bằng: 12 a A. a B. a C. a 12 D. 7 7 16
17. Chọn phương án: Gián tiếp 1 d(A;(SCD))=d(H;(SCD)) Chọn phương án: Trực tiếp 2 (K CD: KC = KD) Dựng HI  SK (I SK) (SHK)  (SCD) 12 d(H;(SCD) = HI = a 7 Học sinh gắn HI vào ∆ SHK để tính Vậy đáp án cần chọn là A. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 3 . G là trọng tâm của ∆ SAB. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAC) tính theo a bằng: a a a 2 A. B. C. D. a 2 6 6 6 Chọn phương án: Gián tiếp 2 d(G;(SAC))= 1 d(B;(SAC)) 3 Chọn phương án: Trực tiếp 1 O = AC  BD; BO  (SAC) Học sinh tính BO trong Y ABCD d(G;(SAC)) = 1 d(B;(SAC)) = BO = a 2 Vậy đáp án cần chọn3 là C 3 6 17
18. Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Chỉ bằng một cách chuyển đơn giản ta có thể đưa bài toán 2 về bài toán 1 và thực hiện tính như bài toán 1. Chúng ta sẽ thấy rõ hơn qua các ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 6 . Đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a. Khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng: a a 6 A. B. a 6 C. a D. 3 3 AD // BC d(AD;(SBC)) = d(A;(SCB)) Chọn phương án: Trực tiếp 3 Dựng AE  BC (E BC); AK  SE (K SE) d(AD;(SBC)) = d(A;(SBC)) = AK= a 6 3 Học sinh tính AK trong ∆ SAE. Vậy đáp án đúng là D Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khoảng cách từ MN đến (SBC) tính theo a bằng: a 3 a 2 a 2 A. B. C. a 3 D. 6 4 2 18
19. MN // BD d(MN;(SBC)) = d(M;(SBC)) Chọn phương án: Gián tiếp 2 d(M;(SBC)) = 1 d(A;(SBC)) 2 Chọn phương án: Trực tiếp 2 (SAB)  (SBC); (SAB)  (SBC) = SB Dựng AH  SB (H SB) d(A;(SBC)) = AH = a 2 4 Học sinh gắn AH vào ∆ SAB đã tính Vậy đáp án đúng là B Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Bài toán 3 sẽ được đưa về bài toán 1, chúng ta sẽ thấy rõ hơn thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABCA'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A'C', C'B'. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB'A') và (DEF) tính theo a bằng: a 3 a 3 a A. B. a 3 C. D. 4 2 4 19
20. DF // BB'; EF // A'B' => (ABB'A') // (DEF) d((ABB'A');(DEF)) = d(E;(ABB'A')) Chọn phương án: Gián tiếp 2 d(E;(ABB'A')) = 1 d(C';(ABB'A')) 2 Chọn phương án: Trực tiếp 2 d((ABB'A');(DEF)) = 1 d(C';(ABB'A')) 2 C 'K a 3 = = (K A'B': KA' = KB') 2 4 Học sinh gắn C'K vào ∆ C'A'B' để tính. Vậy đáp án đúng là A. Ví dụ 2: Cho hình chóp đều SABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E đối xứng với D quan trung điểm của AS. Gọi M, N, F lần lượt là trung điểm của AE, BC và AB. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNF) và (SAC) tính theo a bằng: a 2 a A. a B. C. a 2 D. 4 2 20
21. FN // AC; MF //SC (MNF) // (SAC) d((MNF);(SAC)) = d(H;(SAC)) (H = BO  FN) Chọn phương án: Trực tiếp 1 d((MNF);(SAC)) = d(H;(SAC)) = HO = a 2 4 Học sinh tính HO trong Y ABCD Vậy đáp án đúng là B. Bài toán 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. • Sơ đồ tư duy định hình hướng làm khi tiếp cận bài toán này: Chọn phương án Tính trực tiếp Tính gián tiếp Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau Gián tiếp 1: Đường thẳng và mặt phẳng song song Gián tiếp 2: Hai mặt phẳng song song 21
22. • Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán: Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' đáy là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa AM và B'C tính theo a bằng: a a A. a B. C. a 7 D. 7 2 Chọn phương án: Gián tiếp 1 B'C // (AMN) (N BB': NB = NB') d(B'C;AM) = d(B'C;(AMN)) = d(B';(AMN)) Chọn phương án: Gián tiếp 2 d(B';(AMN)) = d(B;(AMN)) = BH = a 7 (NK  AM (K AM); BH  NK (H NK) Học sinh tính BH trong ∆ BKN Vậy đáp án đúng là B. 22
23. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy và ∆ SAB cân tạo S. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và AB. Biết góc giữa đường thẳng SN và MO bằng 60o, O là tâm của hình vuông ABCD, khoảng cách giữa AB và SD tính theo a là: a a 85 a 85 A. a 85 B. C. D. 17 17 7 Chọn phương án: Gián tiếp 1 AB // (SCD) d(AB;SD) = d(AB;(SCD)) = d(N;(SCD)) Chọn phương án: Trực tiếp 2 d(N;(SCD)) = NH = a 85 17 (F = NO  CD; NH  SF (H SF) Học sinh tính NH trong ∆ SNF với các cạnh tính được qua tính các cạnh của ∆ MEO với E· MO 600 , E là trung điểm của AN Vậy đáp án đúng là C. Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A'D tính theo a bằng: a 12 A. B. a 12 C. a D. 2a 19 19 23
24. Chọn phương án: Gián tiếp 2 d(AC;A'D) = d((AB'C); (DA'C')) = d(D;(ACB')) Chọn phương án: Gián tiếp 2 12 d(D;(AB'C)) = d(B;(AB'C)) = BH = a 19 Học sinh gắn BH vào ∆ BB'K để tính. B'K  AC (K AC); BH  B'E (F B'E) Vậy đáp án đúng là C. Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a, I là trung điểm của AB. Dựng IS vuông góc với mặt phẳng (ABCD). IS = a 3 . Gọi M, N, P lần lượt là trung 2 điểm của BC, SD và SB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AP tính theo a bằng: a 2 a A. a B. a 2 C. D. 2 2 Chọn phương án: Gián tiếp 2 d(AP;MN) = d((SAB);(MFNE)) = d(E;(SAB)) (E AD: EA = ED; F SC: FS = FC) Chọn phương án: Trực tiếp 2 d(E; (SAB)) = EA = a 2 Học sinh tính EA trong Y ABCD Vậy đáp án đúng là D 24
25. Ví dụ 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC tính theo a bằng a 6 a a A. B. a 6 C. D. 6 6 2 Chọn phương án: Trực tiếp BD  SC d(BD;SC) = OH = a 6 6 OH  SC (H SC) Học sinh gắn OH vào ∆ OHC sử dụng ∆ OHC ∾ ∆ SAC để tính. Vậy đáp án đúng là A Ví dụ 6: Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với (ABC) và SA = a 2 . ∆ ABC vuông tại B, AB = a. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC tính theo a bằng: A. a B. 2a C. a D. a 6 3 6 Chọn phương án: Trực tiếp SM  BC d(SM;BC) = BH = a 6 6 BH  SM (H SM) Học sinh gắn BH vào ∆ SAB và sử dụng tam giác đồng dạng để tính. Vậy đáp án là D 25
26. Chương 3. KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ TRIỂN KHAI CỦA SÁNG KIẾN Để kiểm chứng hiệu quả của các biện pháp được nêu trong chương 2, tác giả tiến hành dạy tại lớp 11A13, sau đó tiến hành kiểm tra đánh giá kết quả học tập qua bài kiểm tra trắc nghiệm 45 phút. Bài kiểm tra có đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Kiểm chứng trên lớp với 45 học sinh 11A13 năm học 2022– 2023, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút theo thang điểm 10, thu được kết quả sau: Nhận biết(nắm vững lý Thông hiểu(có thể vận Vận dụng linh hoạt thuyết) dụng lý thuyết để giải (giải được đa số các bài toán) tập đưa ra) Số Phần trăm Số Phần trăm Số Phần trăm học sinh học sinh học sinh 45 100% 40 88,9% 35 77,8% Về thời gian thu được kết quả sau: Từ 2 phút/ 1 câu Từ 5 phút/ 1 câu 1,8 phút / 1 câu Trên10phút/1câu đến 5 phút/1 câu đến 10phút/1câu Số Số Số Số Phần Phần Phần Phần học học học học trăm trăm trăm trăm sinh sinh sinh sinh 15 33,3% 20 44,4% 7 15,6% 3 6,7% 26
27. Đánh giá kết quả - Trong quá trình dạy và học, lớp tích cực hoạt động hơn, làm việc nhiều hơn và độc lập hơn. Các tiết học diễn ra sôi nổi, học sinh nhiệt tình và hào hứng tham gia các hoạt động khám phá kiến thức, tích cực hoàn thành nhiệm vụ được giao, hăng hái phát biểu. - Học sinh lớp thực nghiệm cũng thể hiện khả năng tiếp thu kiến thức mới và khả năng giải quyết các bài toán cao. Học sinh biết cách huy động các kiến thức cơ bản và những tri thức có liên quan, kỹ năng lựa chọn phương pháp giải cũng được cải thiện, trình bày lời giải cũng súc tích ngắn gọn hơn. - Kết quả của bài kiểm tra cho thấy đa số học sinh nắm vững kiến thức, biết vận dụng một cách nhanh, chính xác và linh hoạt giải quyết các bài tập trắc nghiệm. 27
28. Phần 3. KẾT LUẬN 1. Những vấn đề quan trọng của sáng kiến Quá trình nghiên cứu sáng kiến: “ Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần khoảng cách trong chương trình hình học không gian lớp 11" đã thu được kết quả quan trọng sau: - Nghiên cứu lý luận và thực tiễn về thực trạng dạy và học đáp ứng nhu cầu đổi mới hiện nay. Điều tra thực tế cho thấy đa số học sinh còn thiếu kỹ năng trong việc giải các bài toán phần khoảng cách. Đứng trước mỗi bài toán, phần lớn học sinh không đủ thời gian làm bài do khó khăn trong việc định hướng cách làm. - Đề xuất một số biện pháp nhằm giải quyết các khó khăn khi học sinh giải bài tập trắc nghiệm phần khoảng cách. - Tiến hành kiểm tra 45 phút. Kết quả đã kiểm chứng được hiệu quả và tính khả thi của đề tài. Như vậy có thể khẳng định, mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được. 2. Ý nghĩa, tác dụng của sáng kiến Qua quá trình thực hiện sáng kiến: “Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần khoảng cách trong chương trình hình học không gian lớp 11” , bản thân tôi đã nghiên cứu và hệ thống được một số giải pháp góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. Bên cạnh đó, bước đầu đã vận dụng lí luận này vào thực tiễn giảng dạy ở trường THPT. Qua thực hành việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài tập trắc nghiệm về khoảng cách cho học sinh, tôi thấy: - Sáng kiến đã giúp học sinh tiếp cận hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các tính chất và khái niệm cơ bản về các loại khoảng cách trong không gian. Học sinh biết phân loại và vạch ra sơ đồ tư duy cho các bài toán về tính khoảng cách. Từ đó biết vận dụng việc tính khoảng cách trong các bài toán thực tế, trong cuộc sống. 28
29. - Sáng kiến đã bàn đến một vấn đề mang tính thời sự hiện nay, đó là cách thức giải quyết các bài tập trắc nghiệm trong đề thi THPT đảm bảo đủ thời gian, nhanh, chính xác. - Các biện pháp sáng kiến đề ra có thể áp dụng cho mọi đối tượng học sinh ở các trường Trung học phổ thông. - Sáng kiến đã góp phần định hướng cách học, cách tư duy, cách vận dụng kiến thức toán. -Ở góc độ nhất định, sáng kiến có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học ôn luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia. 3. Kiến nghị Qua quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi xin mạnh dạn đề xuất một số ý kiến như sau: - Đối với giáo viên: Phải tích cực tìm tòi các giải pháp dạy phù hợp với từng bài, chương. Xây dựng hệ thống câu hỏi, lựa chọn phương pháp dạy học hiệu quả, phát huy tính chủ động tích cực của học sinh. Lồng ghép giáo dục ý thức, nhân cách, phẩm chất của học sinh. Thường xuyên trao đổi chuyên môn để có thêm vốn bài tập ứng dụng phong phú. - Đối với học sinh: Phải nhận thức rõ được mình là chủ thể của việc học. Dưới sự hướng dẫn của giáo viên phải tích cực, tự giác trong học tập. Tư duy linh hoạt liên hệ các tình huống đời sống với đơn vị kiến thức đã học để giải quyết. Rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức một cách thuần thục vào các bài tập, các bài thi trắc nghiệm đảm bảo thời lượng và chất lượng. - Đối với nhà trường: Phổ biến rộng rãi các sáng kiến có chất lượng để các giáo viên tham khảo và học tập. Tổ chức các lớp ôn tập theo chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra, đánh giá việc ôn tập của học sinh. 29
30. Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên kết quả nghiên cứu của sáng kiến chưa thực sự đầy đủ, sâu sắc và không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong muốn đề tài này sẽ được nghiên cứu sâu hơn và áp dụng rộng hơn để có thể kiểm chứng tính khả thi của đề tài một cách khách quan hơn, đồng thời nâng cao giá trị thực tiễn của đề tài. 30
31. Phần 4. PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2008), SGK và SGV Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục. 2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2008), SGK và SGV Hình học 11 cơ bản, NXB Giáo dục. 3. Giải toán hình học 11, Trần Thành Minh (chủ biên) - Nhà xuất bản giáo dục tháng 8 năm 2004. ĐỀ KIỂM TRA: 45 phút TOÁN 11 Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), SA = AB = 2a , tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng A. a 3 .B. a .C. 2a .D. a 2 . Câu 2. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB a , AC a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a 57 2a 57 2a 3 2a 38 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19 Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SB 3a, AB 4a, BC 2a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng A. 12 61a .B. 3 14a . C. 4a . D. 12 29a . 61 14 5 29 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 31
32. 5a 3a 6a 3a A. .B. .C. .D. . 3 2 6 3 Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng BDA . 3 6 2 A. d .B. d .C. d .D. 3 4 2 d 3 . Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C ' có đáy là tam giác ABC vuông tại A ' ' có BC 2a , AB a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC B ) là a 7 a 3 a 21 A. a 5 .B. .C. .D. . 2 3 2 7 Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách từ tâm O của đáy tới mp SCD bằng a a a A. .B. a . C. .D. . 2 2 6 3 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA 2a , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D , AB 2a, AD CD a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng 2a 2a 2a A. . B. . C. . D. a 2. 3 2 3 Câu 9. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng A B C là trung điểm của B C . Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC.A B C . a 3 a 2 A. a .B. a . C. .D. . 2 3 2 2 Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , SA 2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC . A. a 2 .B. a 3 .C. a 3 .D. a 2 . 4 3 4 3 Câu 11. Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ sau. 32
33. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a . a 5 a 5 a 5 A. .B. .C. .D. a 5 . 2 4 3 Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và AGK . Tính cos , biết rằng khoảng cách a từ điểm A đến mặt phẳng KBC bằng . 2 1 2 3 3 A. cos .B. cos .C. cos .D. cos . 2 2 2 3 Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A' BD) theo a . a 3 a 3 A. .B. a 3 .C. 2a 3 . D. . 3 6 Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AA AC a và AB a 3 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A' BC ) bằng a 21 a 3 a 21 a 7 A. .B. .C. .D. . 7 7 3 3 Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh AB 2AD 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD . a 3 a 3 a A. .B. .C. .D. a . 4 2 2 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi F là trung điểm của cạnh SA . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng FCD ? 1 1 2 2 A. a .B. a . C. a . D. a . 2 5 11 9 33